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一、证明题

1． 设角是常数).

【答案】

故

2． 证明反常积分

【答案】因为

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意u>l,

g (x )

在

上单调递减，并且收敛，故

3． 设

证明：

并讨论备不等式中等号成立的条件和解释【答案】由三角不等式有

即

又

即

所以丨

等号成立的条件为

可微，证明：在坐标旋转变换

则必有

之下是一(其中旋转

个形式不变量，即若

是收敛的.

由狄利克雷判别法可知

收敛.

时的几何意义。

(k 为实数) ，当时等式的几何意义

为：任一三角形中一边大于或等于另外两边之差。

4． 设n 为正整数，用条件极值方法证明：

【答案】先求

设令

解得由于当

5． 证明：若(1)

或

时，F 都趋于所以

存在且等于A ;

存在

当

又由条件(2) 知：当：^在1) 的某邻

域

时，在①式中，令

从而

即

上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：

为常数，试证明f 在G 上处处连续.

对固定

的

连续，于是对任

给

又由，f 对y 满足利普希茨条件，对上述

现取

则当

取时，

所以

在点

处连续，由点

的任意性知

在G 内处处连续.

. 则当

时，有

存

在

时，有

得

6． 设f (x ，y ) 在区域

其中

【答案】任

取

内

时

1存在.

令1时，有

故F 必在惟一稳定点

处有最小值，即

成立.

甶条件

下的最小值.

(2) y在b 的某邻域内，存在有【答案】由条件(1) 知：对任给

二、解答题

7． 设球体上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.

【答案】根据题意所求球体的质量为

应用球坐标变换

于是

应用

8． 设函数

（1）m 等于何值时，f 在【答案】（1）当

（2

）

时，

不存在. 故当正整数时

，试问： 为正整数）

连续；（2）m 等于何值时，f 在

可导.

连续.

当

故当m 为正整数时，f 在

当

时，f 在

即

可导.

时

9． 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为火车运费的单价是最省。

，的B 城（图）轮船运费的单价是

的总运费

试求运河边上的一点M , 修建铁路MB ，使

图

【答案】设

则

总运费

由

得

时总运费最省。

舍去负值，

经检验

故M 点距C

点的距离为