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一、证明题

1． 试确定级数证明你的结论.

【答案】由

所以当x>0时级数敛域为

由于

而

所以级数的一般项在敛

. 而

因因为

敛，所以点

的任意性可知

在有

收敛(利用比式判别法) ，故在

上连续，所以

当

上一致收敛，从而

内连续、可微.

上连续，且

知对

总

有

时，有

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的收敛域. 又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连续？是否可微？

收敛，当x<0时发散，当x=0时级数发散，所以级数的收

内不一致收敛于0，故级数

使得当在

在时有

上一致收敛.

内不一致收

上连续，从而在点

时有

而

连续.

收可微. 由

上可微，因此在点

2． 证明：若函数上一致连续.

其中b 为非零常数，则f (x )

在存在正数

于是，

对

当

【答案】首先，由

使

得

其次，由

在

综上，

取

与即

在

3． 设f (x , y , z ) 有连续的偏导数，作自变量变换：z ) 变成F (u , v , w ) . 证明：

【答案】方法一 对即

在上式两边关于t 求导得

令t=l可得

方法二 由f (x ，y ，z ) =F(u , v , w ) , 利用一阶微分形式的不变性可得

由变换式可知，

若将u ，v ，w 都换为tu ，tv , tw , 则相应地x ，y , z 也换成了tx , ty , tz ,

事件至少一个发生. 于是，总

有

上一致连续.

它把函数f (x , y ，

对

当

时

，

上连续，知

存在

当

在

上连续且一致连续.

时，

有

于是，对上述

的

由此易知，当du=u, dv=v, dw=w时，有

反之也如此，这表明结论成立.

4． 设正项级数

【答案】令

，收敛，证明：级数

则

对上式两边取极限得

所以级数

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：仍收敛，其中.

收敛到

5． 证明：闭区间

设

不妨设

的全体聚点的集合是

则

本身。

【答案】设[a，b]的全体聚点的集合是M 。

由实数集的稠密性知，集合的一个聚点。

设

不妨设

则

中的无穷多个点，故x 0为

则

即闭区间

的全体聚点的集合是

则数列

的构造，知

且

所以，数列设

单调递减且有下界，故其必收敛.

两边取极限，

得

解之，

得

所

以

本身。

收敛，求其极限。

的一个聚点. 总之

即

不

是

的聚点，

即

中有无穷多个实数，故a 是

b 也是的一个聚点. 同理，

故x 0的任意邻域内都含有设

故综上所述，

6． 证明：若

【答案】由

令

二、计算题

7． 求函数及它们的模.

【答案】

于是

8． 设

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在点及点：处的梯度以