2017年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 同时掷5枚骰子，试证明：
（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）
2枚组成“一对”，共有以
（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有
种可能，所以所求概率为
（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以
（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得
（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以
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个样本点，这是分母，以下分别求之.
（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取
种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所
种分法，
2． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:
相互独立, 且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
试
下求（U , V ）的联合密度函数, 因为可比行列式为
所以, 当
时, 有
可
见
3． 设
可分离变量, 故
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
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的反函数为, 且变换的雅
U 与V 相互独立, 其
中
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
在原假设由等式
成立下，有
可得
记
是
分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知
时，
所以 c=21.887.
时，将拒绝原假设
从而有
在原假设
成立下，有
这
里
可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理
知
, 从而有
故由等式
可得
记
即
若n=15,
查表得
从而
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确定. 为了确定c , 需要充分统计量
时
，
由此可
得
的分布.
或
者
利用分布的分位数可确定临界值c.
认为
为标准正态分布的分位数，则有