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一、证明题

1． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度, 为此, 令

其雅可比行列式的绝对值为

. 由

得

另外, 我们还可以求出边际密度,

类似可求得

显然

这就证明了

独立.

，则这说明

即

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与相互独立.

所以

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

于是

2 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE

，即

且

的无偏估计，故其差

由判断准则知

是0的无偏估计，

3 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.

【答案】设

则

所以

•由此得

和V=X/Y的联合密度为

所以

可分离变量, 即U 与V 相互独立.

为已知值，均值只能取或

两值之一，为总体的容量n 的

则检验犯第二类错误的概率

为

从而在并且要求

给定时，有

4． 设正态总体的方差

样本均值. 考虑如下柃验问题

若检验拒绝域取

为

（1）试验证：（3）当

【答案】（1）由于

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

时，样本容量n 至少应为多少？

故检验犯第二类错误的概率为

这给出

也即

从而在

（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.

同理可知：当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

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给定时，有

就变大，由为常量可知就变小，从

于是

将

代入，有

即n 至少应为468.

5． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.

【答案】因为

上式移项即得结论.

6． 证明：

（1）（2）

【答案】（1）由

移项即得结论.

证明：2P （ABC ）=P（AB ）

7． 设

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即

其中

和

都已知，常记为则在给出样本后的后验分布密度函数为

其中

因此，

所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先

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