2017年上海交通大学安泰经济与管理学院840运筹学与概率统计之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设数为
是来自均匀分布
其中
（2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须
与
的联合分布为
所以的后验分布为
要使
与
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.
（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布；
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
2． 如果
【答案】记因为令而
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, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在, 因为
, 使当, 故存在
和时, 有
使当
, 时, 有
. 对任给的
取足够大的
和
使
是F （x ）的连续点, 且
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
3． [1]设随机变量
[2]设
【答案】利用变换
, 由的任意性知，求
，证明：
及偶函数性质可得
结论得证.
, 所以有而对于
[2]在题[1]中令
即可得结论.
4． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：
【答案】由于其中
代回原式即得证.
5． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
6． 设分布函数列
【答案】对任意的
弱收敛于分布函数
且
存在充分大的M , 使有
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存在，所以级数绝对收敛，从而有
和都是连续、严格单调函数,
又设
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有对取定的N , 存在因而存在
因此有
使当
使有时, 任对
, 有
对取定的h , 因为
关于x 是一致的,
由 7． 记
证明
【答案】
由
得
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的任意性知结论得证.
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