2017年山西大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
2． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
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【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
分布函数, 即（2）. 相互独立, 由（1）
的相互独立性可导致
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
（2）
（3）
3． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
（2）设其中
以下对n 用归纳法：
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
4． 若事件A 与B 互不相容，且
证明：
【答案】
5． 设由
又设
为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
明：样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
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6． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X 与Y 独立,
则
试证：A 与B 独立.
7． 设0 【答案】由条件 8． 设随机变量 试证明: （1）（2）（3）【答案】（1） （2）由（1）知, （3）由（2） 知 由此得 所以 , 得 再由上题即得结论. , 且X 与Y 相互独立, 令 因为X 与Y 相互独立, 所 以 二、计算题 9． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率. 【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有 个，而事件“第一个盒子中有 种可能；第二 3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有 步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为 10．设 是来自 的样本, 试求常数c 使得 的自由度. 【答案】由条件: 第 4 页，共 35 页 服从t 分布, 并指出分布 且相互独
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