2017年山西大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=
不相关但不独立. 【答案】因为
与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得
所以X 与
不独立.
是其样本，
，证明：
是θ的充分统计量，则对
这说明，在均方误差准则下，人
2． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计
令
们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
这说明
于是
因而
3． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的
有
所以
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
不相关. 为证明X
证明:X 与
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
4． 设随机变量序列证:
【答案】这时
仍为独立同分布, 且
由辛钦大数定律知结论成立.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
5． 设
也是一个分布函数.
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是
（2）有界性. 对任意的x ，有
且
（3）右连续性.
6． 设正态总体的方差
为已知值，均值只能取或
两值之一，为总体的容量n 的
则检验犯第二类错误的概率
为
从而在并且要求
给定时，有
都是分布函数，故当
时，有
样本均值. 考虑如下柃验问题
若检验拒绝域取
为
（1）试验证：（3）当
【答案】（1）由于
（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？
时，样本容量n 至少应为多少？
故检验犯第二类错误的概率为
这给出
也即
从而在
（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.
同理可知：当减小时增大.
这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.
（3）由
查表可得
于是
将
代入，有
给定时，有
就变大，由为常量可知就变小，从
即n 至少应为468.
7． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 8． 设 相互独立, 服从 证明: 【答案】令 , 则 再令 , 则 令 相互独立, 且 服从 独立，由此得 即 所以变换的雅可比行列式为: 计算该行列式, 可得 因为, 把雅可比行列式代入上式可得 由此可知 相互独立, 且 服从