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一、证明题

1． 证：事件A 与B 独立的充要条件是

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

2． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

3． 设正态总体的方差

为已知值，均值只能取或

两值之一，为总体的容量n 的

则检验犯第二类错误的概率

为

证明:

,

样本方差分别为

独立，由此得

即

样本均值. 考虑如下柃验问题

若检验拒绝域取

为

（1）试验证：（3）当

【答案】（1）由于

从而在并且要求

给定时，有

（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？

时，样本容量n 至少应为多少？

故检验犯第二类错误的概率为

这给出

也即

从而在

（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.

同理可知：当减小时增大.

这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.

（3）由

查表可得

于是

将

代入，有

即n 至少应为468. 4． 设证:

【答案】注意到

故

证明完成.

5． 设

服从多项分布

其概率函数为：

给定时，有

就变大，由为常量可知就变小，从

为一个样本,

是样本方差, 试

其中即

为参数，若的先验分布为Dirichlet 分布，

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet 分布

，其中

6． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

7． 设

即A ，B 相容.

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和

其中验分布.

（2

）当已知时，不妨设c

服从伽玛分布

都已知. 则给出样本

即

其中

后c 的后验分布密度函数

因此，

所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先