2017年南开大学数学科学学院847概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 一个人的血型为A ，B ，AB ，0型的概率分别为0.37，0.21，0.08，0.34. 现任意挑选四个人，试求：
（1）此四人的血型全不相同的概率； （2）此四人的血型全部相同的概率.
【答案】（1）若第1，2，3，4人血型依次为A ，B ，AB ，0.
则“四人的血型全不相同”共有种可能情况，而每种情况出现的概率都是（2）所求概率为
2． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球. 现任取一个盒子，从中任取3个球. 以X 表示所取到的白球数.
（1）试求X 的概率分布列；
（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？
，i=l，2，3. 由全概率公式得
【答案】（1）记为“取到第i 个盒子”
将以上计算结果列表为
表
于是所求概率为
（2）
3． 由经验知某零件质量为
已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，
检验的拒绝域为可算得，
由于
故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.
设U 是相互独立的,
由
）？
查表知
使用样本数据
【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个
（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量
4． 一仪器同时收到50个信号, 其中第i 个信号的长度为且都服从（0, 10）内的均匀分布, 试求
【答案】因先-莱维中心极限定理, 可得
利用林德伯格
这表明:50个信号长度之和超过300的概率近似为0.0071.
5． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
【答案】（1）样本要使
的似然函数为
达到最大，首先示性函数应为1，其次是
尽可能大. 由于c ＞0, 故
是的单调增由此给出的最
函数，所以的取值应尽可能大，但示性函数的存在决定了的取值不能大于大似然估计为
（2）此处的似然函数为
其对数似然函数为
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
已知；
由上式可以看出，限制然方程
解之
（3
）设有样本
于θ的单调递减函数，要使得到 6．
其似然函数为
达到最大，应尽可能小，但由限制
因而的最大似然估计为
由于
的主体
是关可以
是的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于
将
关于求导并令其为0得到关于的似
这给出的最大似然估计为
, 这说明θ不能小于
是取自总体X 的样本，已知y=InX服从正态分布N （μ, 1）
（1）求μ的置信水平为95%的置信区间；
（2）求X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）将数据进行对数变换，得到y=InX的样本值为
它可看作是来自正态总体N （μ，1）的样本，其样本均值为
由于σ=1已知，因此，的置
（2）由于
是的严増函数，利用（1）的结果，可算得X 的数学期望的置信水平为
信水平为95%的置信区间为
95%的置信区间为
7． 设随机变量X 的分布函数为
试求
【答案】这里X 是连续随机变量，所求概率分别为