2017年南开大学数学科学学院847概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1．
是来自
【答案】因为
的样本，已知为服从
所以
的无偏估计，试说明
是否为的无偏估计. 相应的密度函数为
于是
所以，的无偏估计.
2． 设曲线函数形式为
试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.
即
：不是的无偏估计，但它是的渐近无偏估计，经修偏，
是
【答案】本题相对于前两题来说，变换形式稍显复杂，根据原函数形式，可考虑作如下变换：
变换后的线性函数为则最后的回归函数化为
3． 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.
（1）试求X 的分布列；
（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有号码，则X 的可能取值为3，4，5.
因为
所以
1种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大
且当
时，
有
进一步，可将之规范化，令
所以X 的分布列为
表
（2）由分布函数的定义知
F （x ）的图形如图
.
图
4． 设
【答案】
5． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数
；（2）X 与Y 是否独立？
，试求
【答案】（1）因为P （x , y ）的非零区域为图的阴影部分,
图
所以, 当
时, 有
, 因此Y 的边际密度函数为
因此X 的边际密度函数为又当
时, 有
这是贝塔分布Be （2, 1）. （2）因为
6． 已知随机变量Y 的密度函数为
在给定Y=y条件下, 随机变量X 的条件密度函数为
求概率【答案】因为
所以
7． 从n 个数1，2，…，n 中任取2个，问其中一个小于k （l 【答案】从n 个数中任取2个，共有当于将1，2, …，n 分成三组： 于是所求事件是从第1组中任取1个且从第3组中任取1个，这共有于是所求概率为 8． 假设 （1）A ，B 不相容； （2）A ，B 独立； （3） A 由此得 ， B 独 立 ， 所 以 由 得P （B ）=5/6. （3）因为 所以X 与Y 不独立. 种等可能的取法. 而其中一个小于k 、另一个大于k 相 种取法. 在以下情况下求P （B ）: 【答案】由加法公式及其变形可知： （1）因为A ，B 不相容，所以（ 2 ） 因所以 为