当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设随机变量量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

所以

而

正是

的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱

, 则由X 的特征函数

..

展开为级数形式, 可得

可

得

, 证明:当

时, 随机变量

按分布收敛于标准正态变

收敛的方法知结论成立.

2． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

2枚组成“一对”，共有以

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

种分法，

个样本点，这是分母，以下分别求之.

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

3． [1]设间为

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的

括号里的事件等价于

因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为

是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区

，因

而

分位数

可得

则有，

其中

这就证明了的近似置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

于是，的近似[2]平均月销售量

此处间为

若用较为精确的近似公式，所得置信区间为[11.0392, 12.9992], 二者相不大.

4． 设X 为非负连续随机变量，证明：对

，则有

【答案】设X 的密度函数为p （X ）

5． 试证：对任意的常数

【答案】于

所以

由此得

有

由

较大，利用题[1]的结果，平均月销售量的近似0.95置信区

置信区间可进一步简化为

6． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明：

【答案】