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2018年首都师范大学数学科学学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研核心题库（一） . 2 2018年首都师范大学数学科学学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研核心题库（二） 10 2018年首都师范大学数学科学学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研核心题库（三） 19 2018年首都师范大学数学科学学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研核心题库（四） 29 2018年首都师范大学数学科学学院873数学基础[专业硕士]之数学分析考研核心题库（五） 37

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一、证明题

1． 证明:

于区间

（其中

由于

）一致连续, 但是于在

内连续,

从而在

内不一致连续。 内一致连续, 则在区

【答案】（1

）由于间

内也一致连续。 （2）利用定义, 取

存在

取尽管有

但是

2． 设f 为

试证明:当

取最小值, 且最小值为

上可积函数.

, 从而函数在区间内不一致连续。

为f 的傅里叶系数, 1时, 积分

上述

是三角多项式,

为它的傅里叶系数.

其中

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【答案】依题意

所以

由上式可得,

当且仅当且最小值为

3． 设

为

内的递增函数. 证明

:在由

内单调递增, 取知

’

使得

, 故

类似可证

,

4． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足

证明:至少存在一点【答案】令中值定

理知,

, 使得

因此, 由罗尔定理可知, 故有

5． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数;

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时积分取最小值,

与都存在, 且

.

【答案】

对对

, 即在内有上界, 取

, 则当

从而有上确界, 记

, 由上确界定义知

时有

, 使.

, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分

, 使得由于

（3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令

与

是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设所以

6． 试应用

定义证明

:

时,

从而对任给

取

则当

时,

所以

7． 证明:（1）设f 在

（2）设f 在【答案】（1）设因为（2）把函数其中

个线段方程组的系数矩阵为A , 则

.

把上可导, 若上n 阶可导,

若

和

都存在, 则都存在, 则

, 由拉格朗日中值定理得

都存在且相等, 所以有

, 故

看作未知数, 解上述线性方程组. 设这

在点x 处展开为n-l 阶泰勒公式得

【答案】因为当

和

为D 上的奇函数, 为奇函数.

都为偶函数.

为D 上的偶函数,

则

与

是D 上的奇函数, 是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

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