2018年沈阳师范大学数学与系统科学学院851数学分析二考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
故
在x=0连续. 由
证明:
令
得
即（2）令
令t=l，则有
3． 证明
【答案】将
作偶延拓到
上, 再在
故
即
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, 证明:复合函数在x=0连续, 但g 在x=0不连续.
, 可知g 在x=0不连续.
2． 设f （x , y ，z ）具有性质
（1）（2）
【答案】（1）由
对
两边关于t 求偏导数得
外作周期延拓, 于是
4． 设f （X ）在
I 上可微, 且对x>l满足
证明:【答案】记
. , 则
因此若在一个点列
存在广义极限, 记为L.
, 对g （x ）在
. ,
则
, 使得
上应用拉格朗日中值定理, 存在
.
这表明在
使得
上存
另一方面, 由令
5． 证明:若
【答案】因为于是当
时, 有可得
这显然与刚才的结论矛盾, 所以
则对任一正整数k , 有
所以, 对于任给
所以
存在N , 当
因此
时,
,
二、解答题
6． 求
【答案】令
.
性知
又f （0） =0，从而于是
7． 设
（1）证明:x=0是极小值点;
（2）说明f 在极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.
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易知其收敛域为
. 由幂级数的逐项可导
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【答案】
（1）当
（2）因为由导数的定义得
时,
, 而, 故x=0是f （x ）的极小值点
时,
, 所以f （x
）在x=0连续. 当
取
则
于是对任意的
, 总存在
, 使得
, 所以f （x ）在极小值点x=0
故
f （x ）在极小值点x=0处也不满足第二充分条件.
8．
求下列函数的幂级数展开式
:
（
1）
（2）（3）
【答案】（1）因
故
（2）故
⑶
故
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处不满足第一充分条件
. 又因