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一、计算题

1． 求下列不定积分:

（1）

（2）

（3）

或原式（3）原式==

2． 已知函数

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

（7）

【答案】（1）关于x 轴作（2）关于y 轴作（3）关于原点作（4）对（5）对数值为负的地方变为

（6）对（7）从以

的图像的对称图像, 就得到

的图像. 的图像.

, 原函数值为0的地方仍然为0, 原函

的图像.

的图像的对称图像, 就得到）的图像的对称图像, 就得到

的图像, 试作下列各函数的图像:

【答案】（1）原式（2）原式

的图像, x 轴以上的部分保持不变, x 轴以下的部分对称地翻转到x 轴以上. 的图像, 原函数值为正的地方变为

的图像, x 轴以上的部分保持不变, x 轴以下的部分变0.

的图像出发, 把x 轴以上的部分变为0, x轴以下的部分翻转到x 轴上方. 为例, 本题的各种情形如图1〜图4所示.

图1

图 2

图3

图 4

3． 设球体.

上各点的密度等于该点到坐标原点的距离, 求这球体的质量.

【答案】根据题意所求球体的质量为

应用球坐标变换

于是

应用

4． 为了使计算出球的体积准确到1%

, 问度量半径为

r 时允许发生的相对误差至多应为多少?

【答案】

球的体积公式为由

应为

.

得

, 解得

, 于是

.

. 即测量半径r 时允许发生的相对误差至多

二、证明题

5． 证明:若函数

上一致连续. 【答案】首先, 由

知对

在上连续, 且其中b 为非零常数, 则在

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存在正数于是, 对

, 得

当

总有

时, 有

其次

, 由

在

上连续, 知存在

对

时, 与

于是, 总有

即

在

事件至少一个发生. 上一致连续.

上有界, 则f 在R 上有界.

有

对于任意

即

故

在R 上有界.

, 必存在惟一整数

,

在

上连续且一致连续.

时,

于是, 对上述的有综上, 取当

6． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数, a 为实数. 证明:若f 在

【答案】因为k , 使得

7． 设数列

证明

:（

1

）若（2）若

在于是

上有界, 所以存在

使得对任意

正数

h 的所有整数倍从小到大依次为:由于h 是f 的周期, 因而

满足:

有界

, 则

也有界;

有界知, 存在

M0,

使得

收敛,

则

也收敛.

【答案】（1）由己知条件

, 由递推关系式可知,

由此可知, （2）设

有界. , 则

当nN 1时, 有

. 于是有