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一、解答题

1． f （x ）是以

（1）求函数

为周期的连续函数, 其傅里叶系数为

的傅里叶系数

,

;

（2）利用题（1）的结果证明帕塞瓦尔（Parseval ）等式

【答案】（1）（2）由题（1）得

, 在G （x ）中令x=0, 得

即

2． 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成

【答案】如图所示, 静压力的微元

角斜沉于液体中. 设a>b, 长边平行于液面, , 则

上沿位于深h 处, 液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力.

图

3． 试求

在

上的傅里叶级数, 并求级数

的延拓, 则

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的和.

【答案】将f （x ）作周期为

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故由收敛定理, 对

,

当令

时, 其傅里叶级数收敛于

, 即有

4． 延拓下列函数, 使其在R 上连续:

【答案】（1） f （x ）在x=2无定义, 由

知x=2为f

（x ）的第一类的可去间断点. 令

. 则

F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续.

（2）f （x ）在x=0无定义, 而

故x=0是该函数的第一类的可去间断点. 令

则F （x ）为f （x ）在R 上的延拓, 且在R 上连续. （3）f （x ）在x=0无定义, 而点.

令 5． 设

【答案】

存在的充要条件是

当且仅当a=6,

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, 所以x=0是该函数的第一类的可去间断

, 则

F （

x ）为

f （

x ）在R 上的延拓. 且在R 上连续. 试确定a , b 的值, 使f 在x=3处可导.

. 于是,

. 于是, a=6, b=－9.

要使这个等式成立,

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6． 设

【答案】对于故

’试求f 在[0, 1]上的上积分和下积分; 并由此判断f 在[0, 1]上是否可积. 的任意分割T , 在间

上,

, 所以有

对于下和s , 由于

, 所以s=0.由于

, 所以由定理知f （x ）在[0, 1]上不

可积.

7． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）:

（1）

（2）

, 由此可见,

由于（2）原式

由此可见

由于

8． 计算积分

【答案】令.

三个量都非整数, 从而原式不可积.

三个量都非整数, 从而原式不可积.

【答案】（1）原式

二、证明题

9． 给定两正数与

证明:【答案】由又因为因此

,

所以

为单调递减,

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

为单调递增. 并且

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与等比中项

因而

一般的令

即都是有界的. 根据