当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:若f 在[a, b]上可积, 在则有

【答案】设点的任何取法, 只要

则由定积分定义, 对任给的

, 就有

由f （x ）在[a, b]上可积知, f （x ）在结论显

然成立.

现设定理知且

时, 恒有

对

于

上的任何分割

‘上对

令

, 则得

用拉格朗日中值定理, 得

的一个分割. 从而当

时（此时

满足

且

故

即

第 2 页，共 30 页

上严格单调且在上可积, ,

. , 使得对[a, b]的任何分割及分

上有界. 设. 如果M=0, 则f （x ）=0, 此时

,

由于

在上连续, 又由于

在

在上可积, 故有界, 又由导函数的达布

,

使得当

没有第一类间断点,

故

上连续. 从而一致连续, 故存在

及任意分

点,

在

, 且

）, 有

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

2

． 若函数

. 满足恒等式

z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，

试证下述关于齐次函数的欧拉定理:

可微函数F （x ，y

, z ）为k 次齐次函数的充要条件是:

并证明:

为2次齐次函数

.

令

两边对t 求导得

充分性

设令

由己知，得所以（2）因为

3．

证明

:

（1

）（2

）

【答案】（1）由

的递减性, 有

即

从而有

依次相加得

由左边不等式, 得

第 3 页，共 30 页

【答案】（1）必要性 由令t=l则有

求关于t 的偏导数得

于是仅是x , y , z 的函数，记

，令

，

因此

所以

z （x ，

y ）为2次齐次函数

.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

由右边不等式, 得

综合两式有

（2）由（1）有

而

, 于是由迫敛性定理有

二、解答题

4． 求由曲线

与坐标轴所围图形的面积.

【答案】如图所示, 曲线与x 轴、y 轴的交点为（a , 0）和（0, b ）所围图形的面积为

图

5． 求两椭圆

与

所围公共部分的面积.

解得两曲线在第一象限内的交点坐标为

,

【答案】如图所示, 这两个椭圆是全等的, 故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组

于是, 所围公共部分的面积为

第 4 页，共 30 页