2018年山西大学数学科学学院632数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1. 设f (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且
试证:(1)【答案】(1)令(2)将结论中换成x
:即
亦即
,
或
由此可见, 令
2. 设
【答案】方法
一
, 由
于是当n>N时, 有
即
方法二设
由所以
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.
使
, 使
; (2)对任意实数必存在
. 对F (x )在
上应用根的存在定理即可.
, 对F (x )在
,
,
证明:
上应用罗尔定理即可.
, 因有极限点列必为有界点列, 故存
在
, 当n>N时, 有
,
使
,
令
可得
3. 证明:
【答案】
且当
有时有
, 所以当
在
时在内连续.
, 则在x=1处有
【答案】由复合函数求导法则可得
由
得
故当x=1时,
:在
内连续.
, 关于x 在
内单调递减,
上一致收敛于0.
内闭
由狄利克雷判别法知,
一致收敛, 又被积函数连续, 于是F (y )在
4. 设函数f 在点x=1处二阶可导. 证明:
若
上一致收敛, 即F (y )在
二、解答题
5. 求
(a 为常数).
时,
(2)当
时,
故
6. 求下列均匀密度物体的质心:(1)的四面体.
【答案】(1)设物体质心为
, 由对称性知:
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【答案】(1)当
(2)由坐标面及平面x+2y—z=1所围
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(2
)设四面体的质心坐标为
, 由于物体密度均匀
, 且
因此
7. 将函数
在【答案】
故f (x )在
的傅里叶级数为
由收敛定理知, 它收敛于
上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.
8. 设函数f (x )满足条件:性.
【答案】因为n=0, 1, 2, …时,
问此函数在上的傅里叶级数具有什么特
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