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2018年山西大学数学科学学院632数学分析考研核心题库

  摘要

一、证明题

1. 设f (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且

试证:(1)【答案】(1)令(2)将结论中换成x

:即

亦即

,

由此可见, 令

2. 设

【答案】方法

, 由

于是当n>N时, 有

方法二设

由所以

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.

使

, 使

; (2)对任意实数必存在

. 对F (x )在

上应用根的存在定理即可.

, 对F (x )在

,

,

证明:

上应用罗尔定理即可.

, 因有极限点列必为有界点列, 故存

, 当n>N时, 有

,

使

,

可得

3. 证明:

【答案】

且当

有时有

, 所以当

时在内连续.

, 则在x=1处有

【答案】由复合函数求导法则可得

故当x=1时,

:在

内连续.

, 关于x 在

内单调递减,

上一致收敛于0.

内闭

由狄利克雷判别法知,

一致收敛, 又被积函数连续, 于是F (y )在

4. 设函数f 在点x=1处二阶可导. 证明:

上一致收敛, 即F (y )在

二、解答题

5. 求

(a 为常数).

时,

(2)当

时,

6. 求下列均匀密度物体的质心:(1)的四面体.

【答案】(1)设物体质心为

, 由对称性知:

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【答案】(1)当

(2)由坐标面及平面x+2y—z=1所围

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(2

)设四面体的质心坐标为

, 由于物体密度均匀

, 且

因此

7. 将函数

在【答案】

故f (x )在

的傅里叶级数为

由收敛定理知, 它收敛于

上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.

8. 设函数f (x )满足条件:性.

【答案】因为n=0, 1, 2, …时,

问此函数在上的傅里叶级数具有什么特

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