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一、证明题

1． 设z=siny+f（sinx －siny ）, 其中f 为可微函数，证明:

【答案】设u=sinx－siny , 则

所以

2． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:

【答案】两次应用洛必达法则得

3． 用区间套定理证明确界原理.

【答案】设S 是非空有上界的数集, b 是S 的一个上界, a 不是S 的上界, 显然a

令区间

,

且

令于是有

,

且

如此下去, 得一区间套区间套

定理知, 存在首先,

其次, 上界, 故

有,

因为

, 且, 因而

, 所以当n 充分大时有

, 往证

.

, 即是S 的一个上界.

, 而不是S 的上界, 所以不是S 的

;

, 其具有性质:不是S 的上界,

是S 的上界（n=1, 2, ... ）, 由

;

若

不是S 的上界, 则取

,

, 若是S 的上界, 则取, 若c 1是S 的上界, 则取

若

不是S 的上界, 则取

于是得

二、解答题

4． 设

令

（1）f （x ）在

. 求证:

上可导, 且导数只在

处不连续; 处不连续.

,

且

, 所以由连续性定理

知

（2）f （1）在（0, 1）上可导, 且导数只在【答案】（1）因

为

. 又当

时,

因此在上连续, 且, 从而

在上一致收敛. 于是函数在

上可导, 且

又因为在上可导, 导数在点处不连续, 所以

在（2

）

上可导, 且导数只在点处不连续.

, 故由（1）知f （x ）在（0, 1）上可导, 且导数只在

点

处不连续.

5． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:

（1）（2）

【答案】（1）因

在点,

在点

所以切线方程为

即

法平面方程为

即

（2）令

所以

故切平线方程为

法平面为

6． 计算下列第一型曲线积分:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

【答案】（1）

（2）右半圆的参数方程为

从而

（3）

-

其中L 是以0 （0, 0）, A （1, 0）, B （0, 1）为顶点的三角形; 其中L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周; 其中L 为椭圆其中L 为单位圆周

. 其中L 为螺旋线

, 其中L 是曲线

, 其中L 是

,

,

与z=y相交的圆周.

在第一象限中的部分;

的一段;

的一段;