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一、计算题

1． 设V 是R 中有界区域, 其体积为1/2, V 关于平面x=l对称, V 的边界是光滑闭曲面外向法矢与正x 轴的夹角, 求

【答案】由高斯公式

令

由于V 关于面x=l对称，则对应的V 关于面

而平移变换不改变立体的体积. 所以

从而

2． 用区间表示下列不等式的解:

（1）（3）（4）显然, 当当

即

综上, 原不等式的解为（2）显然, 当一个数是于是先求解不等式组于是原不等式的解集为

（3）由于

故可将不等于a 、b 、c （它们不是原不等式的解）的实数划分为4

个部分

都不变号, 由此可得原不等式的解集

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3

是,

的

对称，且

（2）

【答案】（1）原不等式可化为

时, 原不等式总成立. 时, 原不等式可化为

解得

用区间表示为

的解时, 它的相反数也是不等式的解. 即

, 解得

当x 在其中任一部分中变化时, 为

（4）由单位圆中的正弦线可得

3． 求下列幂级数的收敛半径及其和函数.

（1）

（

2）（

3）（提示

:

【答案】（1）设

则

故

故收敛域为[

﹣1, 1].

设

的解集是k 为整数.

）

故收敛半径为

1,

又

时级数收敛,

且x=1

时

从而

所以

（2）

记

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（3）设

设

则当x=±l时, 级数发散. 故收敛域为（﹣1, 1）.

而

所以

当x=0时,

. 即

4． 设

【答案】如果存在某证明如下:

由又由以当

5． 求内摆线

时,

. 在何种条件下能由此推出, 使得在知,

对任给的

, 使得当从而

内, .

存在

?

, 则由题设条件能推出使得当

时,

有

即

时

, 由于

所.

, 对上面的, 存在

所围图形的面积（图）

.

图

【答案】所围图形的面积为

6． 重排级数

【答案】

使它成为发散级数.

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