2018年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f （X ）在
上n+1阶导数且. 由微分中值定理
求证:
..
【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开
对
在a 点作同样的展开, 有
将上式代入式（1）可得
比较式（2）、式（3）, 且有
, 则
9
故
2． 设
b]上绝对且一致收敛.
【答案】因为又由
收敛, 即 3． 设
与
是[a, b]上的单调函数, 故对任意
均绝对收敛, 得
收敛, 从而
在[a, b]上一致
在[a, b]上绝对且一致收敛. , 证明
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及
是[a, b]上的单调函数, 证明:若
与都绝对收敛, 则在[a,
【答案】原不等式
令于是
, 则
, 从而原不等式成立.
, 故f （x ）在（0, 1）上单调递减.
二、解答题
4． 将下列函数展开成麦克劳林级数
:
（1）（2
）（3
）（4
）（5
）【答案】
（1
）而
所以当
时, 有
（2）由于
所以
因而
（3）因为
所以
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从而
（4）
（5）利用
将x 换成
, 再取反函数得
而
所以
5． 求下列极限:
（1）（2）（3）
【答案】（1）因为
所以
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，共
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