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一、证明题

1． 证明：函数

【答案】下面用归纳法证明

命题成立. 设.

其中

在x=0处n 阶可导且

为次数不超过3n 的多项式. 当n=l时，

其中

满足要求，则

因为故 2． 用

方法证明

:

的次数不超过3n ，所以

的次数对任意

成立. 由于对任意的

所以

的次数不超过

于是

其中n 为任意正整数.

【答案】则

因此，

当

时，便有

即

二、解答题

3． 通过对积分区间作等分分割，

并取适当的点集计算下列定积分：

把定积分看作是对应的积分和的极限，来

【答案】（1）因

记其分割为

在取

上连续，所以为区间

在上可积. 对进行n 等分，得

的右端点，

，有

（2）同（1）

（3

）由

则

在

上连续知

，

在

上可积，

对

进行n 等分，

记其分割为

取为区间

的右端点，得

（4）同（3）, 取得

4． 设

【答案】

试按的正数幂展开

5． 求方程

【答案】

设

增. 由于

的根的近似值，精确到

因为

于是取

现估计近似

根迭代。

由于已经精确到

故取近似根

所以

6． 求下列函数在给定区间上的最大最小值：

【答案

】

故舍去.

-10, 在

处取最大值2。

由

即

知

于是，当

（3）

故函数在

时，函数取最大值1。又因

由

处取最小值，最小值为

得稳定点

又因

当

时，

最小值不存在。 当

时

，

（2）令

由方

程

得稳定

点

由

于处取最小值

比较它们的大小知，函数在

的误差

.

故

在

上的最小值

为

而

所以

所以实根在区间

在

上严格递

内，在此区间上，

不满足精度要求，继续

故最大值不存在。

(2) 由坐标面及平面

所围的四

7． 求下列均匀密度物体的质心：(1) 面体.

【答案】(1) 设物体质心为

由对称性知：

(2) 设四面体的质心坐标为，由于物体密度均匀，且

因此