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一、证明题

1． 证明级数

【答案】因为

按对角线相乘可得

*

所以两级数的乘积为 2． 设

【答案】令

于是当

故由柯西中值定理，存在

使得

证明存在

使得则.

在时

即

3． 证明：设

则

，

在D 上无界的充要条件是存在

所以

这说明时，存在点

在D 上无界.

在D 上无界，所以

有

这说明

有

. 因此，当取

必要性因为

使时，有

上连续，在

内可导，

不同时为零. 又有

与

绝对收敛，且它们的乘积等于

故级数

.

绝对收敛，同理

也绝对收敛，

【答案】充分性因为，

二、解答题

4． 函数f （x ）在[0, x]上的拉格朗日中值公式为与f （x ）及x 有关的量，对

【答案】

解得

求当

时的极限值.

其中

且

是

由洛必达法则

由

5． 应用高斯公式计算三重积分所确定的空间区域。

【答案】

6． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a, b]上可积，则

【答案】

因

则

7． 设

【答案】

其中V 是由与

为由方程所确定的可微隐函数，求gradz.

8． 设有

中点列

求

【答案】因为

所以

9． 设

【答案】

10．设

求证递推公式：

【答案】因为

所以

11．流体流速

求单位时间内穿过球面

是S 在三个坐标面上的投影面，则有

的流量。

试按

的正数幂展开

【答案】设S 为所给球面，