2017年浙江师范大学数理与信息工程学院681数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明：对充分小的h , 存在
【答案】设f 在与G (x ) 在
内具有二阶导数. 不妨设
令
使得
再令
则其中
从而
令
则有
且
2． 设
为开集
因为
均为可微函数，证明
：在处可微，所以
又
由
在
处可微，知f
在所以
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使得
则
上满足柯西中值定理的条件，故存在
在于是
上满足拉格朗日中值定理的条件，故有
也是可微函数，而且
【答案】对
处连续，从
而
在附近有界，
即
使
这表明，
在处可微，且
由的任意性，知
在上可微，且
二、解答题
3． 试求下列方程所确定的函数的偏导数
(1)
【答案】(1) 把看成所以
同理两边对y 求偏导数得
(2) 两边对x 求偏导数有
所以
两边对y 求偏导数，得
故
4． 研究函数
【答案】由
于
当
时，
当
时，
因此
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(2)
的函数，两边对x 求偏导数，得
的连续性，其中在
在闭区间上是正的连续函数.
上是正的连续函数，故存在正数m , 使得
，
所以
连续.
5． 作函数导法，得
由
可知
为垂直渐近线. 又因为
所以有斜渐近线
根据表渐近线，画出函数图形如图所示.
表
的图形.
由定义可求出
当
时，利用对数求
【答案】函数的定义域为
在
处不连续，当
在
上连续，所以当
时，函数
图
6． 设
在平面上二次连续可微
，
的偏导数表示
(1) 用u 关于(2) 用u 关于【答案】 (1)
的一、二阶偏导数表示
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