2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 试用聚点定理证明柯西收敛准则.
【答案】
有
于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件. 如果集合
只含有有限多个不同的实数, 则从某一
的极限.
如果集合
至少
都含
矛盾.
故
的聚点,
所以存在与
设
丨收敛, 令
于是, 对任给的
, 存在正整数N , 使得当n ,
时,
项起这个数列的项为常数, 否则柯西条件不会成立. 此时,
这个常数就是数列有一个聚点.
假如
有集合
有两个不等的聚点
,
不妨设
,
令
, 则时, 有,
又因为
是
故数列
2． 设
收敛于
是无穷大数列. 证明:
必为无界数列.
含有无限多个不同的实数, 则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理, 集合
中无限多个点.
这与取
, 存在正整数N , 当n
,
时
,
的聚点是惟一的, 记之为
对于任意, 使得
, 存在N , 使得当n
,
因而, 当
时,
是无界数列, 又因为
【答案】
因为界数列.
3． 设
是无穷大数列,
所以对任意大正数是无界数列, 所以总存在
有
存在自然数N ,
当因此
即
时,
有是无
为开集f , g :均为可微函数, 证明:, 因为f , g 在x 0处可微, 所以
也是可微函数, 而且
.
【答案】对
又由f （x ）在x 0处可微, 知f 在x 0处连续,
从而
所以
在x 0附近有界,
即,
使
这表明,
在x 0处可微, 且
, 由x 0的任意性, 知
在D 上可微, 且
二、解答题
4．
求
【答案】由上的最值问题.
令当当
5． 计算重积分
其中D 是以集, 它的点总可表示为
作变换:
所以
在区域D 上的最大值和最小值.
=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）, 则
或或
即即
或时, z=f （x , y ）取最大值或
时, z 取最小值
.
;
将其与f （0, 0） =0进行比较知,
所求函数的最大值为, 最小值为
.
为顶点, 面积为A 的三角形.
【答案】可以利用重心公式直接求得结论, 本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸
I
6． 由拉格朗日中值定理, 对
求证:
.
, 使得
方法一:
用带皮亚诺余项的泰勒公式, 得
于是
即
即得方法二:由
.
解出
. 由洛必达法则及
【答案】
7． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积.
, 得
图
【答案】椭圆柱面的方程为的性质有
, 解得
.. 于是
故所求体积
. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形
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