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一、证明题

1． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式:

（1）

（2）

考察正项级数

的收敛性，因为

所以（2）设

从而级数

收敛. 由级数收敛的必要条件知

考察正项级数

的收敛性，因为

所以

2． 设f （x ）在

（1）（2）设

从而级数

收敛. 由级数收敛的必要条件知

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

, 则t=0.

知, 数列

为收敛数列.

上连续, 对

两边取极限, 得

因此f （t ） =t.

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0.

3． 用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则

, 则H 为

有限个邻域

, 使得

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【答案】 （1）设

. 设证明:

为收敛数列；

（3）若条件改为【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设

, 由于f 在

为递减数列. 由知, 数列有

时, 所以由f （t ） =t可

. 显然若S 有聚点, 则必含于

, 使得

中. 假设

为有限点集. 记

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中

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由于

为有限点集

所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故

S

在

[-M, M]中至少有一个聚点.

二、解答题

4． 设曲线方程

（1）（2

）【答案】

（1）

于是曲线在点

即

（2）

于是曲线在

处的切线方程为

法线方程为

5． 求a , b之值,

使得椭圆

【答案】椭圆的面积

包含圆

, 且面积最小.

. 欲使S 最小, 必须要求

. 先求

a , b

所满足的约束条件

, 即

,

,

. 即

, 法线方程为

处的

切线方程

为

；

.

,

, 求它在下列点处的切线方程与法线方程

:

椭圆与圆相切, 在切点处纵坐标y 值和斜率值应相等, 即

从式（2）中解出构造拉格朗日函数

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, 代入式（1）可得:

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由

解之可得:

由于实际问题存在最小值, 所以这唯一的极值点必是最小值点, 最小值

6． 对n 次多项式进行因式分解

从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数, 即

要得到用系数表示的根, 即

试对n=2与n=3两种情况, 证明:当方程

无重根时, 函数组①存在反函数组②.

因为

无重根, 所以

所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于

所以

又

【答案】（1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有

所以由定理可知函数组①存在反函数组②.

7． 求指数, 使得曲线积分

【答案】设

,

, 则

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’与路线无关, 并求k.