2018年扬州大学数学科学学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、综合题
1． 设
’
求
.
【答案】方法一作变量代换t=x—2, 则
方法二因为
所以
2． 求极限
【答案】方法一:令
, 则有
当
时,
故有
因此方法二:当
时,
是无穷小量
.
由此即得
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.
3． 设数
为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个都是[a, b]上的单调函数, 则级
在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛. 【答案】级数可记为由每一个
又x=a及x=b时
,
设
为收敛于零的函数列,
故
则
在[a, b] —致有界.
又对每一个
都是[a, b]上的单调函数可得
是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛.
4． 设有一半径为R 的球体, P 0是此球的表面上的一定点, 球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k>0）, 求球体的重心位置.
【答案】方法一 记所考虑的球体为, 以的球心为坐标原点O , 射线OP 0为x 轴的正向建立坐标系, 则P 0 点的坐标为（R , 0, 0）, 球面方程为
密度函数为
设重心坐标为
, 由对称性可知,
,
而
故
因此球体的重心位置为
.
方法二 选取P 0为坐标系的原点, 球心坐标为（0, 0, R ）, 则球面方程为
而此时密度函数为
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设重心坐标为
, 由对称性知,
.
而
故
因此球体的重心坐标为
5． 试求心形线
【答案】所求平均值为
6． 应用换元积分法求下列不定积分:
（1）（3）（5）（7）（9）（11
）（13）（15）（17）（19）（21）（23）（25）（27）（29）
（2） （4）
（6）
（8） （10） （12） （14）t （16）
（18） （20） （22） （24） （26）
（28）
（30）
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.
,
上各点极径的平均值.
;
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