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一、证明题

1． 用定义证明:

【答案】先写出当

具体到本题, 由于

所以

, 取

, 当

. 和

时, 有

即

2． 用

方法证明:

和

时, 有

的精确数学定义.

,

【答案】则

因此,

存在

当

时, 便有

即 3． 设f 为有

【答案】先证由

在知, 对于

内的递增函数. 证明:若存在数列

内有界. , 存在使得当

时,

且, 使得则

,

从而此时有设时, 于是f （x ）在

, 则.

, 由

.

得

取

. 由极限保号性知, 存在N 2

使得当则当

,

则对任给的

时, ,

存在

,

使得

由f （x ）的递增性知, 此时有

内有上界.

时,

. 由归结原则得

由确界原理知, f （x ）有上确界.

令

, 于是, 当

故

于是B=A, 即

二、解答题

4． 计算第二型曲面积分

（1）

（2）S 是不含原点在其内部的光滑闭曲面; （3）S 是含原点在其内部的光滑闭曲面. 【答案】（1）

（2）

所以

（3）由于函数P , Q , R 及其偏导数在S 所围区域上不连续（在原点处不连续）, 为此作半径充分小的球面

, 使在S 所围区域内, 记与S 间的区域为

并用

表示取内法线方向的定向曲面. 则由奥氏公式得

注意

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所以

5． 求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V （如图）在xOy 面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分, 所以V 的体积

图

6． 已知g 为可导函数, a 为实数, 试求下列函数f 的导数:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）（3）（4）

7． 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性:

（1）（2>（3）

, D 为全平面;

.

； ； .