2018年长春工业大学基础科学学院709数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设数列
证明:数列【答案】因为收敛准则知, 对任意的
于是
由柯西收敛准则知,
2． 证明:当
【答案】因为
所以
3． 设函数f 在点x=1处二阶可导. 证明:
若
【答案】由复合函数求导法则可得
由
得
故当x=1时,
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满足:存在正数M , 对一切n 有
都收敛.
, 又
存在正整数N , 当
所以时, 有
是单调有界数列, 故
收敛. 由柯西
收敛.
时
, 则在x=1处有
4． 设E 为平面上一个有界闭集, 连续函数f 将E 一对一映为平面上的点集F , 证明:（1）F 也是有界闭集; （2） f 的逆映射也是连续函数.
【答案】（1）由E 为有界闭集, f 为连续函数, 显然F 是有界的. 下证F 为闭集. 设
为F 中的任意一个无限点集, 对于每个
即存在
的子列
存在一个使
则
从而为聚点, 即F 中的点均是聚点, 从而F 为有界闭集. （2）由f 是一一映射, 知由令上述由
在
连续, 即当
存在. 并且对当
时,
是F 上的连续函数.
时,
存在
使得 从而
在
连续.
的
它必有聚点满足
的任意性, 知
二、解答题
5． 求下列函数微分:
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
（6）
6． 设f 在值或最小值吗?
【答案】（1）设于是, 当x>M时, 有
, 则对于
, 存在正数M>a, 使得当x>M时, 有
上连续, 所以f 在闭区间时有
.
上也连续. 根
. 因为f 在
上连续, 且
存在. 证明:f 在
上有界. 又问f 在
上必有最大
据连续函数的有界性知, 存在正数G , 使得当
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于是,
对一切（2） f
在
, 但f （x ）在
上无最小值. 而
. 即f 在
上不一定有最大值和最小值. 例如
,
在
上有界. 在上无最大值. . 求证:
取
使得f （c ）即可.
若上连续,
且有
7． 设f （x ）在[a, b]上单调增加, 但不必连续, 且=c（c 称为f （x ）的不动点）.
【答案】方法一用区间套定理. 将[a, b]二等分,
分点记为,
若
, 否则
取当时,
取
, 取再将二等分, 分点记为c 1,
若即可. 若取
, 否则, 取
, 这样保证有, 使得
取
如此继续下去, 要么到某一步时, 得到一分点
, 这样保证
有, 当
即可;
时,
要么这种步骤可无限地进行下去, 得到一个闭区间列
, 它满足如下性质:
由闭区间套定理, 使得
又由f （x ）的单调性, 有
由此, 利用f （x ）的单调递增性, 可得
即f （c ）=c. 方法二用确界原理. 令（1）由（2）
及f 的单调性知,
. 由f 的单调性,
, 而
, 所以. 显然
, 故有上确界C. 易知 , 故
, 故
当然, .
.
由（1）、（2）知, f （c ）=c.
8． 试证:在原点（0, 0）的充分小邻域内, 有
【答案】设
则
故
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