2017年宁波大学高等数学(侧理)(同等学力加试科目)之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设是欧氏空间V 的线性变换，试证下面命题等价：
（1）为正交变换；
（2）保持向量长度不变，即对（3）若【答案】
两边开方，并注意向量长度非负，可得设
为V 的一组标准正交基，则
且有
所以
由此即有
从而
此即
故
即证
取
也是一组标准正交基
. 为V 的一组标准正交基，则
也是标准正交基，且设
其中A 为A 的列向量，由知
.’.A为正交阵
.
基，有
因为
也是标准正交基，所以
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也是标准正交基底. 则
为标准正交基底，则
下证A 为正交阵，令
证
其中
则由是标准交
由②，③有
∴是正交变换.
2． 证明与下述若尔当块
交换的矩阵一定是A 的多项式. 【答案】方法1设
满足
计算
自由。
故
又可计算得
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故
基下的矩阵为A ，于是有
是A 的多项式.
作线性变换
使它在上述
方法2运用空间观点. 取n 维线性空间V , 给定一组基
或
这样基组合. 设
其中在上的
是 像.
是
的某个多项式
.
故
与
在V 的任一向量上的作用都相同. 因此
下矩阵为B , 且有
于是
就得到对应的矩阵的等式B=f （A ）.
又设矩阵B 满足BA=AB.作线性变换它在基是的一个多项式由线性变换的等式
3． 证明：对欧氏空间中任意向量都有
【答案】根据三角形不等式得
在此不等式中，将与互换，又得
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可写成而V 中任一向量都是基的线性
的多项式. 这证明了 V 中任一向量都是的某个多项式在这种线性变换作用
现设是V 上的线性变换，与交换. 来证明
它必是
其中_
是
的某个多项式，又对V 的任一向量