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一、分析计算题

1． 设似，记为

是线性空间V 的两个线性变换. 若存在可逆线性变换S 使证明：

在同一基下的矩阵相似.

故

且

又若

则

因此，线性变换的相似关系是等价关系. ②设

在基

下的矩阵为

若

且

即

与

相似.

由上倒推可得

的三个根的立方.

反之，若

又S 在该基下矩阵为C. 则

由于线性变换与其所对应的矩阵的映射是一个同构映射，故

则

即

则称与

相

①线性变换的相似关系是等价关系； ②在有限维空间中，【答案】①因为再若

2． 求三次方程，使其三个根分别是三次方程

【答案】诏

是

的三个根. 那么

从而以

3． 设

求

为根的三次方程是

【答案】由A 的特征多项式

故

是A 的零化多项式. 作带佘除法，得

故

由

于是

4． 试证象棋盘上的马，从任一位置出发，只能经过偶数步才鲫眺回原处（马跳法是沿相邻的方格组成的矩形的对角线）.

【答案】设此定点为坐标原点，建立直角坐标系（如图），马的跳法有8种类型：

图

第1种是跳往的位置（见图），用反证法，设第i 种类型共跳次回到原处，那么

或

①方程组①的增广矩阵为

且其

步

由于最后一个方程为

②I 而Xi 是整数，②式左端为偶数，②式右端为奇数，矛盾. 所以只能偶数步才能跳回原处.

5． 设

试证

是线性空间V 的一组基，

是它的对偶基，

表出）.

是V 的一组基并求它的对偶基（用

【答案】可利用定理3. 计算

由于右端的矩阵的行列式.

则

I

故

是V 的一组基. 设

是

的对偶基，

即

可以表示为

故

于是V

中存在一个基

6． 证明：在三维线性空间V 中，非零反对称双线性函数

其中

【答案】

由

在此基下的度量矩阵为

总有

为线性函数.

非零反对称双线性函数

，

令

7． 计算n 阶行列式

则结论成立.

【答案】解法I 拆项法. 按第一列将

拆成两个行列式相加，其中第一个可利用第44题之结果，再将其中第二个行