2017年内蒙古工业大学数学综合之高等代数考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设S 是非零的反对称实矩阵，则
（1）
（2）设A 是正定阵，则【答案】（1）有正交阵T 使
于是
最后的不等号是由于非零. 于是
2． 证明：
在此基下的坐标.
【答案】设以故
为行向量的方阵为A , 则
线性无关，是的一组基.
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至少有一个
S 是反对称，则
为n 元行空间
的一基，
再求
仍反对称，且
（2）A 正定，于是有可逆实矩阵C 使
又设则由此得
由此又得
坐标.
3． 设A 、B 均为n 阶方阵，
【答案】
这就是在基之下的
4． 设
是一个整系数多项式，试证：如果
的整根，
则为奇数，则c 为奇数. 由
不能有整根.
是
：的对偶基，
令
及
奇数，但c 及
5． 设
与
都是奇数，那么
及
不能有整数根. 为奇数，
为
【答案】设c
为是整系数多项式，
由
是不能同时为奇数的矛盾. 故
是数域P 上线性空间V 的一组基，
（1）证明：是V 的基； （2）求【答案】（1）设
的对偶基，并用
表矛则
为V 的一组基，且A 为基
（2）设
的对偶基为
则
即对再设
则
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的对偶基.
到的过渡矩阵.
有
即
6． 计算行列式
【答案】将第一行的1改写成按第一行拆分得
7． 设A , B为n 阶对称方阵，
与
与
是多项式
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的不同的根，且
分别为方程组