2017年内蒙古工业大学数学综合之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． （1）试证：实矩阵
（2）设C , 使
【答案】（1）计算可得
由此知A 的两个特征值均为实数. （2）计算可得
由①知，A 的特征值为二重根再令
则由①有
从而由②知
即
的判别式，
且
的特征值为实数； 并设A 的两个特征值
和
相等，设
试求一非奇异阵
由方程③，④有
又由①式知方程组⑦的系数矩阵的秩为1, 所以⑦同解于
在⑧中令
解得
将
代入⑤，⑥得
同理⑨同解于
令
解得
所以
且使①式成立.
2． 设A 是n 级幂等阵，且秩为n 试求（1）矩阵A 的相似标准形，并说明理由；（2）计算
【答案】（1）因为
从而A 有无重根的零化多项式
由于
无重根，所以A
相似于对角阵，且特征值只能是1或0. 再由秩A=r, 所以存在可逆阵T ，并有A 的相似标准形为：
其中Er ，为r 级单位阵. （2）由①有
3． 求齐次线性方程组
的解空间的一组标准正交基. 【答案】
原方程组与下面方程组同解
所以方程组
有基础解系
设V 为原方程的解空间，则
. 将
正交化，得
正交化，得：
故为解空间V 的一组标准正交基.
下的矩阵为
4． 设V 是数域K 上三维空间，又V 的线性变换T 在基
求T 的特征值和相应的特征向量；又问：A 可否对角化（即与对角矩阵相似）？若可对角化，求C 使
为对角矩阵.
故得T （即A ）的特征值为②解
以其为坐标的向量征向量为
其中的属于特征值
为K 中不全为零的任意数.
得
的全部特征向量为
k 为K 中任意非零数.
③由上面的②可知，V 是三维空间，且T 有三个线性无关的特征向量作基，故A 可对角化. 例如，取特征向量
作基，则由基
到基
的过渡矩阵为
于是得
5． 设二次型
试将其化为标准形，并写出所用的正交变换. 【答案】设此二次型矩阵为A ，则
计算可得当当
所以A 的特征值为
时，得线性无关的特征向量
将它们单位化，得
【答案】①易知T （即A ）的特征多项式为
与是T 的属于特征值1的线性无关的特征向量. 而属于1的全部特
得故有一基础解系为
再解方程组于是为其一基础解系. 因此，T
时，得线性无关的特征向量
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