2017年西北师范大学数学与统计学院620数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 在[0，1]上定义函数列
证明级数【答案】由
在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得
从
而时，
有
及
有
恒成立. 所以对于任
意
取
当n>N时，对任意的
由柯两准则知，级数而正项级数优级数
2． 设为使
【答案】
先证
在则存
在
在[0，1]上一致收敛. 若
发散，
这与
存在优级数. 特别取，有
不存在
发散.
所以级数为优级数矛盾，因此级数
上的二阶可导函数，若在上有界，则存在
上不能恒为正，也不能恒为负. 用反证法，
假设恒有
使
得
(
介
于
设
由泰勒定理得
，
这
与
使
使得
在则存在
这与假设
之间) . 于
是
上有界矛盾. 再用反证法证明原命题. 假设不存在
使得
对
应用达布定理可知，存在
矛盾，故原命题得证。
3． 对应用拉格朗日中值定理，试证：对
【答案】令
则
对
有
应用拉格朗日中值定理得
因此
故
二、解答题
4． 设
(1) 试求(2) 证明【答案】⑴
易证
故有
即
(2) 对(1) 中(a) 式求k 的导数后，再将(a) 式代入得
(3) 由(a) , (b ) 有
代入上式后得
5． 设
【答案】因为
其中
与
的导数，并以
与
满足方程
(这两个积分称为完全椭圆积分) . 表示它们；
求
所以由链式法则得到
最后以
6． 求曲线积
分
代入即可.
这里L 是球
面
交成的曲线.
与
【答案】记
等价于
利用斯托克斯公式得，
7． 设
求
【答案】
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