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一、证明题

1． 设f (x ) 是区间

使得

(1) (2)

恰好是

是或

当当

时，取时，取

且

重复上述过程：若对任意

或有

或者存在

此时，因为假如

即所以

的

由于矛盾.

并且

有

是

在

上的最小值

是

在上

最大值.

在

所以有

上一致收敛.

又因为

收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法可知，反常积分

3． 证明级数

收敛的充要条件是：任给

存在某正整数N , 对一切

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上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：

存在

在若对任

意

则有则有

有时，

取

且

使

使

递减有下界，所以存在

是连续函数，可以推出

使

且

递増有上界

此时结论成立.

则结论成立. 否则，即存在点

有

且当

有

时，

取

使得

使得

即总存在

上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以

有

设

使

则结论成立. 否则，即存在

点

【答案】因为

这样再重复上述过程，得到

2． 证明：反常积分

【答案】因为

在上一致收敛. 时，总有

【答案】取

则当

由级数时有

收敛，则存在正整数

有

由已知条件，存在正整数N ，

于是

及任意正整数P 有

有

由柯西收敛准则知级数

4． (1)

设数列

收敛. 证明

为正的单调递减数列，且

收敛，证明

：

收敛，证明：

(2) 设数列为

正的单调递减数列，且

【答案】(1) 因为由

为正的单调递减数列，由单调有界定理得

存在，

收敛，可知必有

I

对任意

存在正整数

使得对任意正整数

成立

在上式中，令由

取极限，则得

的任意性，则得

显然故有

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(2) 因为由

为正的单调递减数列，由单调有界定理知收敛，可知必有L=0;

存在，

对任意存在正整数使得对任意正整数成立

在上式中，令取极限，则得

由的任意性，则得

显然故有

二、解答题

5． 求两椭圆

所围公共部分的面积。

解得两曲线在第一象限内的交点坐标为I

共部分的面积为

于是，所围公

【答案】如图所示，这两个椭圆是全等的，故所求面积是阴影部分面积的8倍. 由方程组

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