2017年西北师范大学数学与统计学院620数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在区间I 上连续，证明：
(1) 若对任何有理数【答案】(1)
设当
为有理数时(2)
设有两个实数数从而
.
和
存在而当
满足
故f
在上严格递增.
2． 证明：
(1) 方程(2) 方程【答案】(1)
令
的开口向上，于是
.
个不同的实根.
使得
(2) 令
并且
但这是不可能的. 因为
有一个实根
使得
故方程并且
(ii ) 设n 为正奇数. 如果方程.
在区间不妨设
则
.
则
当
(这里c 为常数) 在区间
内不可能有两个不同的实根；
U 为正整数，p 、q 为实数) 当n 为偶数时至多有两个实根；
则
由方程
得
抛物线
内有两
(
设
时
有
则在I
上有
则f 在上严格増.
使
又因为
使得
：
可知时
从而
再由
存在有理数
知，
并且对于正
两点连续. 由) ，使得当.
由有理数的稠密性知，
存在有理数
所以
(2) 若对任意两个有理数
由f
的连续性得
也为0，于是，在
上
为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，
存在有理数列
因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在
当n 为奇数时至多有三个实根.
内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间
由罗尔中值定理知，存在在区间
内不可能有两个不同的实根.
时，
使得
使得
它在实数集R 上有且仅
时，显然成立；当
但这是不可能的. 所以方程
(i ) 设n 为正偶数.
如果方程
有三个以上的实根，则存在实数
.
根据罗尔中值定理，
存在
是奇次方程
当n 为偶数时至多有两个实根.
有四个以上不同的实根，则根据罗尔中值定理，
存在
但这是不可能的.
因为
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是偶次方程
它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程.
根
3． 设
当n 为奇数时至多有三个实
为单调数列. 证明：若则
0, 按聚点的定义，
于是
存在聚点，则必是惟一的，且为
中含有无穷多个
的确界。
令
时
，
存在
则当
【答案】
设是一个单调递増数列.
假设
中只能含有即任给
有聚点，必惟一，恰为
是它的两个不相等的聚点，
不妨设
中的点，设
中有穷多个点，这与是聚点矛盾. 因此，若存在正整数
当
时，
聚点，则必是惟一的。
假设在：
使
按上确界定义知综上，若
无界，则
于是小于M 的只有由聚点定义，必存
有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，
故
有界. 对任给的
的确界。
二、解答题
4． 展开
在
上的傅里叶级数.
另外
因此
在
上的傅里叶级数为
5． 设二元函数
(1) 试比较
【答案】(1
)
(2)
若
使
在[0, 1]上连续，
【答案】因为f (x ) 为偶函数，所以
在正方形区域与
有
由y 的任意性可知
上连续. 记
的大小并证明之；
>成立的(你认为最好的) 充分条件.
对于任意的x 都成立，
则
下面证明上面条件为充分条件，显
然使
(2) 给出并证明使等式
故
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6． 对幂级数
(1) 求收敛域；(2) 求和函数；(3) 讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性. 【答案】(1) 由
于
的收敛域为
(2) 令
则
其中
故(3)
取
则
由于
不趋于0,
于是
在
所以
所以收敛半径为1,
又
发散，
故
(-1，1) 上不一致趋于0, 故该幂级数在收敛域上不一致收敛.
7． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米. 计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。
【答案】如图所示，B 、C 的坐标为（0, 5）和（20, 3）. 于是BC 的方程为
深度为x 处水的静压强为故
闸门从深度x 到
这一窄条上受到的静压力为
图
8． 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比，
若质点沿直线
到
【答案】设比例系数为k ，则点到
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求力所作的功.
平面的距离为z ，故
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