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一、证明题

1． 证明：若函数某个小区域

当

上无界.

令

由于f 在从而

另一方面，由f 在D 上可积知：存在任一积分和

都满足

这与①式矛盾，因此f 在D 上有界.

2． 设

具有性质

【答案】(1) 由

得

即(2) 令

令

3． 设f (x ) 在

上连续

，

绝对收敛，证明：

【答案】因为因为

绝对收敛，当n 足够大的时候

则有

对

两边关于求偏导数得

证明：

*对任一 D 的分割

时，T 的

上无界，从而存在

使得

在有界闭区域D 上可积，则

在D 上有界.

，必在

【答案】假设f 在D 上可积，但在D 上无界，那么，对D 的任一分割

时，任取

连续，所以当n 足够大的时候

由于的任意性，所以命题成立.

4． 设f (x ) 在

上可积，则

【答案】先证明事实上，由且

根据有

特别地，有

由f (x ) 在又因为

上可积可知，它在所以对上述，

上有界，即

当

于是，

当

时，有

即

时，

有有

法，

收敛(即

在在

上一致收敛. 关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是，

关于x 单调(

当

固定)

时

，

二、解答题

5． 半径为r 的球体沉入水中，其比重与水相同. 试问将球体从水中携出需作多少功？

【答案】如图所示，取一水平层的微元，对此微元需作功

图

6． 设f 为可导函数，求下列各函数的一阶导数：

【答案】 （1）

（2） 7． 设

【答案】方法一 因方法二 因所以

8． 设

同样因

求它在(1，0) 点的偏导数. 所以

同样因，

所以

可见求具体点的偏导数值时，第一种方法较好.

是有界闭集

，

是D 上的连续函数. 证明：

在D 上有界，且一定取到最

大值和最小值.

【答案】①若f 无界，

则

这与已知条件矛盾，所以

②

由确界原理，知

存在，即

再由连续性和有界性得，同理可

在D 上有最小值.

在D 上有界.

在D 上有界，用反证法来证明：

所以由连续性，

在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明.