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一、证明题

1． 证明:

若

在

【答案】对

作分割

上

对

使

于是

因为

在

上可积，所以令

有

为的间断点，则

必是的第一类间断点.

使

为下界，由函数极限的单

使其包含等式

不成立的有限个点

为部分分点，在每个小区

间

使用拉格朗日中值定理，则分别存

在

上可积, F

在

上连续，且除有限个点外

有

则

有

2． 设f 为区间上的单调函数. 证明：若

【答案】设f (x ) 为上的单调递增函数得f (x ) 在调有界原理知

内递增且以

与

为上界，

若不是的端点，则存在的某邻域

内递增且以

都存在. 故若为f 的间断点，则必是f 的第一类间断点. 当为的

左(右) 端点时，f (x ) 在的右(左) 极限存在，故若为间断点，则必为第一类间断点.

3． 设为正数证明：方程

在区间

与

内各有一个根.

f (X ) 为初等函数，因此f (X ) 为连续函数. 由于

由根的存在性定理，必存在令

则

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【答案】(1) 证法一：设辅助函数

故有

使得

即

(2) 证法二：

令

且

得

.

故方程

使得在

在

因

为

内各有一个根.

所以存

在

使

在

内也有一个根.

由连续函数根的存在定理知，

存在

内有一个根. 同理可证，方程.

二、解答题

4． 利用微分求近似值：

【答案】（1）令

（2）令由（3）令所以

（4）

令所以

5． 计算下列引力：(1) 均匀薄片引力；(2) 均匀柱体

对于点

则

对于轴上一点

处的单位质量的

处的单位质量的引力；(3) 均匀密

则

得

则

度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.

【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此

故

(2) 设物体密度为

则由对称性知

，

下求F ；

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故

其中k 为引力系数.

(3) 设物体密度为p ，由对称性知

只需求

，设顶点坐标为

由柱坐标变换(正圆锥体V 在

面投影区域

则引力为

6． 设

考察函数，在原点(0, 0) 的偏导数. 【答案】由于

不存在，

所以，f (x ，y ) 在原点关于x 的偏导数为0, 关于y 的偏导数不存在. 7． 求取外侧.

【答案】球面在点(X ，y ，z ) 处的法向量为

由两类曲面积分的关系，有

其中

作极坐标变换，有

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其中k 为引力系数.

其中S 是球面的第一卦限部分，