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一、证明题

1． 证明下述命题：

(1) 设为(2) 设为要条件为

【答案】(1) 取故(2) 由于在

收敛，从而

上

上的非负连续函数. 若上的连续可微函数，且当收敛.

则由收敛.

均为连续函数，任给

有

设即

收敛，由收敛.

又若由于

的单调性可知，

收敛，

则对任给

存在

从而可知

使得当使

于是令

故有

所以有

存在，即

收敛. 劼

收敛的充要条件是

收敛.

_可知

存在，

时，

有

收敛，可知

也收敛，而

收敛，则时，

也收敛.

收敛的充

递减地趋于0, 则

不变号，故由积分中值定理知，存在

2． 应用凸函数概念证明如下不等式：

(1) 对任意实数a ，b , 有(2) 对任何非负实数a ，b ，有【答案】有

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恒成立，故是

上的凸函数，令定义中的当

时

.

从而

则

是

因，

上的凹函数. 故由定义可知，对任意非负实数即

有

3． 已知为三维空间中的有界区域，的边界为分段光滑的曲面，在

上 连续可偏导. 求证

：【答案】不妨设

于是有

4． 设

为外法向量，u (x ，y ，z )

在上连续，在

在点

内除仅有的一个点外都可导. 求证：处不可导. 分别在

上和在

上对

使得

用微分中

【答案】

设函数

值定理，

可得

其中

由此可得到

其中

和

. 将以上两个等式相加，可得

二、解答题

5． 计算

其中L 为球面

与平面

的交线.

【答案】方法一(用参数方程求解) 将

代入球面方程整理可得

令

代入上式得

所以

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于是

方法二(用对称性求解) 由于积分变量X ，y ，z 在曲线方程中具有轮换对称性(即三个变量轮换位置，曲线方程不变) ，所以

故

6． 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：

【答案】(1) 因为所以

(2) 因为所以

7． 计算第二型曲线积分

(1) (2) 所以

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沿逆时针方向；

的边界，沿逆时针方向。

【答案】(1) L的参数方程为