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一、计算题

1． 设在区

间

求级数

【答案】当n 为偶数时，

上由曲

线的值。

；当n 为奇数时，

令

则

得

又

故

2． 在曲面程。

【答案】设所求点为面的法向量为（1, 3, 1）。

按题意，n 垂直于平面，故有

求得为

3． 求上下分别为球面

【答案】由

和

。于是所求点为

，法线方程

，曲面在该点处的一个法向量为

，平。故

与x 轴所围成的平面图形的面积

为

上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线的方

和抛物面

消去z ，解得

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所围立体的体积。

，从而得立体

在xOy

面上的投影区域D xy

为

。于是

4． 求幂级数

【答案】

幂级数的系数

的收敛域、核函数.

.

由于

=1，故得到收敛半径R=1，

当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函

数

则

其中

所以

2

5． 求由抛物线y=x，及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线y=-1的转动惯量。

【答案】闭区域

，所求的转动惯量为

6． 收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元。

（l ）将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; （2）将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;

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（3）某一销售商订购了1 000台，厂方可获利润多少?

【答案】设订购x 台，实际售价每台p 元，厂方所获利润P 元. 则按题意，有 当

时，

，但最低价为75，即降

于是，当时，

当

当x>100时，超过100台的订购量为x-100，售价降低价数不超过90-75=15，故

时

，

因此，有 （1）

（2）

（3）

（元）。

7． 设f （x , y ）在闭区域

上连续，且

求f （x , y ）。 【答案】设

，则

从而

又

的面积

故得

因此

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