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一、选择题

1． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 2． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

=（ ）.

秩

未知量个数，

则A 与B （ ）.

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

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所以A 的特征值为3，3，0；而

4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

则A 与B （ ）.

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

使

且由①式得

因此A 与B 合同. 5．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

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A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 设A 为n 阶方阵，阵.

（1）求A 的一个零化多项式；（2）求A 的最小多项式【答案】（1）对所以

是A 的一个零化多项式.

（2）由（1）知，

所求最小多项式

或或

则有A=3E或A=2E，此均与

相矛盾. 所以

（3）由于A 的最小多项式与特征多项式不计重数时根相同，由（2）得A 的特征值为3和2, 又A 所有特征值之积为

所以A 的若当标准形为

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且其中为A 的伴随矩阵，为n 阶单位矩

（3）求A 的若当标准形.

两边左乘A ，移项整理得

是

的因式.

所以

只能为

如为一次，即

所以A 有且仅有另外一个特征值3. 即A 的所有特征值为

3, 3, 2.可见A 为3阶方阵，其不变因子为1,