2017年辽宁工业大学理学院901高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
2． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
线性相关，故选D.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 【答案】B 【解析】 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式： 【答案】即 用辗转相除法可得 故f （x ）有重因式. 又因为 故 与 是 的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，X-4是f （x ）的单因式， ②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得 故g （x ）有重因式. 又易知 故g （x ）在Q 上的不可约多项式仅有都是 7． 设 【答案】设 证法I 由上知但因为 又因为 故 故（可令 首系数是1，故 下再证 因为 故 即（24）式成立. 的公因式，且存在多项式 又因 故由互素性质知 与 从而存在多项式u , v使 （26）与（27）式两边相乘后可知，与 的最大公因式，即（24）式成立. 的任何公因式都是 ：的因式. 因此， 是 使 证法II 由（25）知： 其中 首系数是1）. 从而 证明： 与 利用多项式除法又进一步可知， 与 而x+1是.f （x ）的4重因式. 故f （x ）在Q 上的标准分解式为 的2重因式，故g （x ）在Q 上的标准分解式为 8． 求n 阶矩阵A 的特征值和相应的特征向量，其中
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