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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

使

因此A 与B 合同. 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

3． 设次型.

A.

为任意实数

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则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

则当（ ）时，此时二次型为正定二

B. C. D. 【答案】D

不等于0 为非正实数 不等于-1

则

【解析】方法1 用排除法令

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的. 4． 设

则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（ ）

.

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【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

线性表出.

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可由 5． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D.

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

由上述知因此

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

二、分析计算题

6． 设.

必存在非零向量【答案】

令

由r+s>n, 得

于是存在非零向量

线性表示，又可以由

，

即

线性表示.

且

是nxr 矩阵，使得

既可由

是nxs 矩阵，线性表示，又可由

因

为

证明：

若线性表示.

所

以

故

既可以由

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