2017年辽宁工程技术大学应用数学830高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 3． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
【解析】因为当否则有
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
由上述知因此 4．
设
线性相关，所以线性相关，故选A. 是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
于是
的一组基, 则由
基到基
【答案】（A ）
5． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
二、分析计算题
6． 设A 、B 分别为数域P 上一个秩为
的
矩阵和
矩阵，令AB=C.证明：如秩A=r，则数域P 上存在
矩阵D , 满足对于数域P 上任何n 阶方阵Q ，有
【答案】由于AB=C, 欲证存在秩为
的矩阵D , 满足有A （DQ+B）
=C，即
ADQ=0.
因为r （A ）=r, 所以存在m 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵R , 使
取
这里
则
有
7． 设是n 欧氏空间的线性变换，
证明（1）是线性变换； （2）的核等于的值域的正交补. 【答案】⑴
由a 的任意性，特别令
则②式仍成立，类似可证（2）下证
由①，有
由④知反之
即
则
由的任意性，特别令由
8． 设向量
（1）求向量组
即证
的秩；
是同一空间V 的变换，且对
有
由①有
此即
所以是V 的线性变换.
. 此即
由⑥即知
所以此即
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