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一、选择题

1．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到

基

【答案】（A ）

2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

且

所以

3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使

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，

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 【答案】D 【解析】 4． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

5． 设行列式

=（ ）.

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

二、分析计算题

6． 设V 是定义域为实数集R 的所有实值函数组成的集合，对于f ，定义f+g与af :

则V 成为实数域上的一个线性空间.

设（1）判断（2）用

是否线性相关，写出理由； 表示f , g 生成的线性子空间，判断

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分别用下列式子

是否为直和，写出理

由.

【答案】（1）令得

分别取

解之得

（2）因为从而

说明

所以

线性无关.

又

的直和.

7． 设A 是数域K 上的一个

（1）证明：W 关于（2）设线性方程组

故

是

矩阵，曰是一个m 维非零列向量。令

的运算构成的一个子空间；

的增广矩阵的秩为r 。证明W 的维数

（3）对于非齐次线性方程组

求W 的一个基。 【答案】（1）显然因为存在

使

又

所以

即

此说明W 是

的子空间。

由题设，其解空间V 的维数

为

（2）对线性方程

组

任取所以存在

存在

使

是线性方程组使

则

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的解。

显然，这是W 形到V 的一个双射。又

这样，存在W 到V 的映射，