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一、证明题

1． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

2． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量, 试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度, 为此, 令

其雅可比行列式的绝对值为

. 由

得

另外, 我们还可以求出边际密度,

类似可求得

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与相互独立.

所以

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

于是

显然

3． 证明:容量为2的样本

【答案】

这就证明了的方差为

独立.

4． 设变量序列

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

于是, 当n 充分大时, 有

记

则

由的任意性,

不妨取

咱矛盾, 所以

5． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

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, 试证:随机

【答案】

, 由此得

则当n 充分大时,

有不服从大数定律.

,

这与前面推出的

个样本点，这是分母，以下分别求之.

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取2枚组成“一对”，共有以

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

6． 设

是来自

的样本,

是来自

的样本, 两总体独立.c , d

种分法，

种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

是任意两个不为0的常数, 证明

其中

【答案】由条件有

且

相互独立, 故

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, 与分别是两个样本方差.