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一、证明题

1． 设

服从多项分布

其概率函数为：

其中即

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

为参数，

若

的先验分布为Dirichlet 分布，

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet

分布

，其中

2． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明

：

【答案】由又因为所以得

进一步由

, 且X 与Y 独立,

则

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得

3． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得

这正是

4． 设

分布

, 证明:

的特征函数, 由唯一性定理知

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

【答案】若

由

在上是严格单调增函数, 其反函数

为

Z 的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

5． 设

（1）（2）（3）

, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

从而

的有效性最差.

则

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由此可推测。当用样本的凸组合

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

6． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

对一切的存在，

这就证明了

7． 设随机向量（

令

证明:

两两不相关的充要条件为

则

同理可得

由此得必要性:若由此得

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）间的相关系数分别为

且

【答案】充分性:若

两两不相关.

两两不相关, 则由上面的推导可知