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一、证明题

1． 设

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.

2． 设独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明：（2）计算

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，故

最优.

这说明是则Y 的密

都是θ的无偏估计；

（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为

于是有

这表明

也是θ的无偏估计.

（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

故有

又

从而

由于（3）对形如

因此在均方误差意义下，的估计有

优于

故

因此当

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如

的

估计中，最优.

3． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

4． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

则成立.

的概率分别

是证明

：

[2]仿题[1]有

5． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律.

7． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

6． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

【答案】因为

其雅可比（Jacobi ）行列式为

的联合密度为

由该联