2017年河南师范大学数学与信息科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 2． 设明: 为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨 设 又因为 否则 令 . 因为 故有 所以由马尔可夫大数定律知 3． 设计. 【答案】由于 这就证明了 ，是的相合估计. 第 2 页，共 43 页 独立，由此得 即 为绝对收敛级数. 令证 , 并讨 论即可. 由 知 为绝对收敛级数, 可记 服从大数定律. ，证明： 是的相合估 独立同分布， 4． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式 （1） （2）（3） 【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式. （1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记 为第k 次取到白球的概率，则有 且 即 对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率. （3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率. 5． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明： （1）（2） 【答案】（1）由于 存在，所以该级数绝对收敛，从而有 （2） 6． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明 ： 【答案】由又因为 第 3 页，共 43 页 得 所以得 7． 设 进一步由 的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. , 其中 , 且X 与Y , 考察其极限知 为自由度为n 的t 变量, 试证: 【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为 , 劼的特征函数为 由特征函数性质知从而由, 再按依概率收敛性知 这就证明了 8． 设 的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. 的i.i.d 样本，其中 ）. 样本的联合密度函数为 未知. 证明关于假设 为来自 的单侧t 检验是似然比检验（显著水平 【答案】记 两个参数空间分别为 利用微分法， 在 下 于是似然比统计量为 在 时 由于 故只需考虑 的情形，此时A 为 的单 分别为 的MLE. 而在 下 的MLE 为 调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域 由t 检验的结论知， 这就完成了证明. 二、计算题 9． 某城市中共发行3种报纸A ，B ，C ，在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、30%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A ，B ，C 报，求以下事件的概率： （1）只订阅A 报的； （2）只订阅一种报纸的； 第 4 页，共 43 页
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