2017年华北理工大学理学院823高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 2． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为 3．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
第 2 页，共 42 页
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则也不是线性变换，
比如给
=（ ）.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
所以f 为正定的. 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
第 3 页，共 42 页
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
则A 与B （ ）.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
方法2:设考虑到
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 设 其中a , b是整数，试求出f （x ）, g（x ）有公共有理根的全部a , b, 并求出相应的有理根. 【答案】令由于 与 则 有相同的根. 从而可求f （x ）与h （x ）的公共有理根. 有 因为a ，b 不是整数，所以1不是f （x ）与g （x ）的公共有理根. （2）若 时，有 所以-1也不是f （x ）与g （x ）的公共有理根• （3）若 时，有 所以（4）若 也不是f （x ）与g （x ）的公共有理根. 时，有 所以仅有 7． 设W 是I 【答案】 的非零子空间，对于W 中每一个向量 n , 证明： 则a 线性无关. 第 4 页，共 42 页 f （x ）可能的有理根为：h （x ）可能的有理根为 因此它们公共有理根的可能范围是（1） 若 是f （x ）与g （x ）的公共有理根，此时 或全为0, 或 全不为
相关内容
相关标签