2017年华北理工大学理学院823高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，分别为A ，B 的伴随矩阵，
则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（
【答案】D 【解析】
3． 设
为空间的两组基，且
又
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）•
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
4． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
5． 设A 为4×3矩阵，常数，则
由②有
【答案】（C ） 【解析】设
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
二、分析计算题
6． 线性空间里
【答案】
的和是直和的充要条件是
按直和的定义，必要性显然
.
且有唯一分
解
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中至少有一个向量a 可唯一地表示为这
如
果不是直和，则
所以存在非零向量
又因为子空间的交仍是子空间，所以有
这样得
即得a 的两个不同分解式，与a 分解式唯一性相矛盾.
7．
设AX=b的解
【答案】证法I 设
则由
知
即反之，设但b ≠0，故证法II
设但由于反之，设知，但b ≠0，故
8． 设
则
也是AX=b的解.
也是AX=b的解，则由（1）知：
于是有
是AX=0的解，故（2）是AX=b的解.
是AX=b的解，则由
也是AX=b的解. 从而有
是由
用施密特正交化方法得
【答案】由施密特正交化方法，
记
则
于是
是线性方程组AX=b≠0的解向量. 证明
：
也是
是n 维欧几里得空间V 的一组基
到的正交组，证明：
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